Funkcje Trygometryczne: Historia

Egipt i Babilon

W starożytnym Egipcie i Babilonie od wieków znano twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych. Jednak społeczeństwa przed Grekami prawdopodobnie nie wynalazły idei miary kąta i w konsekwencji badały tylko boki trójkąta.

Niektórzy badacze uważają, że starożytni Babilończycy zapisali na tabliczkach pisma klinowego Plimpton 322, powstałych ok. 1800-1900 lat p.n.e., tablicę sekansów. Jednakże według innych interpretacji mogły to być tablice trójek pitagorejskich albo rozwiązanie równania kwadratowego.

Starożytna Grecja

Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta.

Jakkolwiek w dziełach Euklidesa i Archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II Elementów są tożsame ze wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem wzoru sinusów. Jedno z twierdzeń Archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów. Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180-125 p.n.e.). Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów.

Menelaos z Aleksandrii (ok 100 n.e.) napisał trzy księgi pod tytułem Sphaerica. W Księdze I sformułował dla trójkątów sferycznych odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie. Sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej, mówiące, że dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary (utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych). Menelaos zauważył także, że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°. Księga II Sphaerica dotyczyła zastosowań geometrii sferycznej do astronomii. Księga III zawierała "twierdzenie Menelausa".

Później Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 - ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele Almagest koncepcję "cięciw na okręgu" Hipparcha. Trzynasta księga Almagestu była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie Ptolemeusza. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru

$\sin^2 \tfrac{x}{2} = \tfrac{1 - \cos x}{2}$

Ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia tablic trygonometrycznych, choć nie wiadomo.

Ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych, choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały.

Średniowieczne Indie

Kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w Indiach. Indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476–550 n.e.) w swoim dziele Aryabhata-Siddhanta po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy, a także cosinus, sinus versus i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj.

Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. W VI wieku n.e. Varahamihira używał wzorów:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1\;$

$\sin x = \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right)$

$\tfrac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^2 x$

W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):

$\sin x \approx \tfrac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant \tfrac{\pi}{2}$

W końcu VII wieku, Brahmagupta wyprowadził wzór:

$\ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x = \sin^2\left(\tfrac{\pi}{2} - x \right)$

oraz tzw. wzór interpolacyjny Brahmagupty:

$f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\tfrac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \tfrac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2}.$

który pozwolił mu na stablicowanie wartości sinusa.

Świat islamu

Prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków. W IX wieku Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.

W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa Abu al-Wafa. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \;$

Wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi, pierwsze traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne Bhāskara Acārya i Nasir ad-Din Tusi w XIII wieku. Nasir ad-Din Tusi sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów, sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.

W XIV wieku Ghiyath al-Kashi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej. Uług Beg (XV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych.

Średniowieczne Chiny

Tablice sinusów Aryabhaty zostały przetłumaczone na chiński i umieszczone w klasycznym dziele Kaiyuan Zhan Jing, skompilowanym w 718 roku w okresie dynastii Tang. Jakkolwiek Chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki, takich jak stereometria, czy algebra, to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku Greków, Hindusów i muzułmanów. Powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie dynastii Song (960-1279), kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej. Na przykład Shen Kuo (1031-1095) używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami . Jak twierdzą historycy L. Gauchet i Joseph Needham, inny matematyk, Guo Shoujing (1231-1316) używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych.

Renesansowa Europa

Regiomontanus był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem, który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną. Napisał w 1464 De triangulis omnimodus, a później Tabulae directionum.

Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele De revolutionibus orbium coelestium (1543), choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w IX wieku.

Francesco Maurolico w 1555 używał zapisu sinus, w 1583 J. Finck użył określeń tangens oraz sekans. Edmund Gunter w 1620 roku użył słowa cotangens, w 1624 roku wprowadził oznaczenie sin x oraz tan x, a w 1636 cosi x oraz słowo cosinus (zamiast complementi sinus). François Viète w 1590 znalazł wzór na $\cos nx\;$ .

W 1595 Bartłomiej Pitiscus użył po raz pierwszy terminu "trygonometria" w swoim dziele Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus (1595, Heidelberg).

Opus palatinum de triangulis autorstwa Retyka, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.

Isaac Newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus i cosinus w szereg, a Leonhard Euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony.

W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.

W 1770 Johann Heinrich Lambert znalazł reprezentację tangensa w postaci ułamka łańcuchowego.